команда "БО-ГЕ-МА" (Боги геометрической магии): КОПИЛКА ПОЛЕЗНОСТЕЙ

Развертка.

Что такое развёртка многогранника? Вы скажете — кусок картона, из которого можно свернуть данный многогранник. В этом есть правда, но это не вся правда. Оказывается, понятие развёртки включает в себя больше, чем просто кусок картона. Какой многогранник можно свернуть из столь хорошо известного латинского креста? Конечно же, куб. Для этого надо покрасить ребра, как это сделала наша волшебная кисточка (рёбра одинакового цвета склеиваются в многограннике друг с другом). На самом деле, конечно же, лучше было бы раскрашивать не ребра, а каждую пару точек в один цвет. Это бы задало, как говорят в математике, условия склейки границ. После того как условия склейки границ заданы, рёбра, проходящие внутри куска картона, определены однозначно по теореме А. Д. Александрова. Итак, из креста можно сложить куб. Но оказывается, что если условия склейки границ задать по-другому, то можно получить совсем даже не куб! Наша волшебная кисточка покрасила границы вот таким образом. Ещё один её взмах — и мы уже знаем, как определены рёбра внутри куска картона. Если теперь, следуя нарисованным условиям склейки, сложить многогранник, то получим пирамиду! Не так давно было доказано, что по-разному задавая условия склейки границ латинского креста, из него можно сложить 5 различных типов выпуклых многогранников.

Читать полностью: http://www.etudes.ru/ru/etudes/razvertka/
© 2002-2015 Математические этюды

Латинский крест.

Ребра определены однозначно.

Из креста можно сложить куб.

Ребра определены таким образом.

Сложим многогранник.

Получили пирамиду.

Мятый рубль.

После войны, в 1947 году, в СССР были введены деньги нового образца. И хотя в 1956 году Карело-Финская Советская Социалистическая республика была возвращена в состав РСФСР, и, соответственно, количество ленточек на гербе уменьшилось, год на банкнотах менять не стали. В том же 1956 году Владимир Игоревич Арнольд поставил задачу о мятом рубле. Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги (рубль) в плоский многоугольник так, чтобы периметр конечного многоугольника был больше периметра исходного прямоугольника? В 1961 году нашу страну постигла новая реформа денег. Дизайн рублёвой банкноты изменился, её физический размер стал гораздо меньше. К этому времени задача всё ещё не была решена. Кроме того, что положительный ответ «можно» противоречит интуиции, есть и математические доводы в пользу отрицательного ответа. Если сложить прямоугольник вдоль прямой, то периметр только уменьшится: к уже существовавшей границе прибавляется отрезок той прямой, вдоль которой складывается, а укорачивается граница на ломаную с теми же концами, что и отрезок. Если сделать аналогичную операцию — сложить относительно прямой весь уже получившийся многоугольник, — то ситуация будет такая же: периметр увеличивается на длину отрезка, а уменьшается на длину ломаной. Такое складывание — относительно прямой — называется «простым» и всегда только уменьшает периметр. Но это только доводы, но ещё не доказательство. Так можно или нельзя увеличить периметр изначального прямоугольника? В реформах 1991 и 1993 годов рубль образца 61 года был выведен из обращения, а задача В. И. Арнольда так и оставалась нерешённой. С тех пор один российский рубль — это, к сожалению, настолько мало, что бумажных банкнот такого достоинства уже не выпускают, лишь металлические монеты. В начале XXI века задача всё же была решена. Первое математически строгое решение дал ученик Николая Петровича Долбилина — Алексей Тарасов. Он предложил алгоритм, как складывать квадрат так, чтобы в итоге получился плоский многоугольник с большим периметром.

Читать полностью: http://www.etudes.ru/ru/etudes/rouble/
© 2002-2015 Математические этюды

Рубль 1947 года.

Рубль 1961 года.

Простое складывание.

Результат простого складывания.

Бесконечно большой периметр.

Гармония правильных многогранников

Правильные многогранники интересовали многих великих учёных. И этот интерес выходил далеко за пределы математики. Платон (427 до н.э. — 347 до н.э.) рассматривал их как основу строения Вселенной, Кеплер (1571—1630) пытался связать правильные многогранники с движением планет Солнечной системы (которых в его время было известно пять). Возможно, именно красота и гармония правильных многогранников заставляла великих учёных прошлого предполагать какое-то более глубокое их назначение, чем просто геометрических объектов. В трёхмерном пространстве существует ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), икосаэдр, додекаэдр. То, что других правильных многогранников не существует, было доказано Евклидом (около 300 г. до н.э.) в его великих Началах.

Читать полностью: http://www.etudes.ru/ru/etudes/platonic/